- Einführung

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                                                              Mathematik/Sinussatz/Cosinussatz

Merke :Man muss nur wissen wo es steht und man muss wissen,wie man damit umgeht.Man benötigt ein Mathematik-Formelbuch
           und ein Physik-Formelbuch.Alle Aufgaben,die man im Leben rechnet,die Lösungen stehen in diesen Büchern.
           Bei einen Studium benötigt man dann nur noch Spezialbücher,je nachdem was man studiert (Chemie,Physik,Maschinenbau,
           Elektrotechnik usw.).

Aus dem Buch :Kusch-Rosenthal Girardet Verlag,Essen,1980,Band Differentialrechnung
                      Dieses Buch gibt es in verschiedenen Bänden mit Lösungsbücher,in denen fehlerfreie, durchgerechnete Aufgaben
                      stehen.Es eignet sich also vorzüglich zum "Selbststudium" .
                      Man ist somit unabhängig von Schule, Lehrer und Nachhilfe.

                                                                     Die Vorzeichenregelung
Merke : Man muss sich in der Mathematik, Wissenschaft und Technik exakt an den Rechenregeln halten,sonst führt dies
            zu falschen Ergebnissen.
            Die Mathematik ist somit wie ein "Kochrezept" ,an das man sich halten muss.Für jeden Aufgabentyp gibt es einen Lösungs-
            weg - vielleicht noch einen Trick - den man wissen muss,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar !!
           - "Plus" mal "Plus" ergibt "Plus"
            
- "Plus" mal "Minus" ergibt "Minus"
            - "Minus"
mal "Plus" ergibt "Minus"
            - "Minus"
mal "Minus" ergibt "Plus"
Diese Rechenregeln sind in jeden Taschenrechner installiert.Man kann somit durch das Einsetzen von Zahlenwerten überprüfen,ob
beim Umstellen Fehler aufgetreten sind.

                                                             Beispielrechnungen
- 2 - 2 = - 4 (der Rechner addiert 2 negative Zahlen
- 2 * - 2 = 4 (der Rechner wendet an "Minus" mal "Minus" ergibt "Plus"
- 2 + (- 3) - ( - 5) + ( + 4)= - 2 - 3 + 5 + 4 = 4 (Überprüfe beide Gleichungen mit dem Rechner !!)

                                                         Beispiel binomische Formel
(a - b)^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2           Werte a=4  b=2 (positive Werte)  (4 - 2)^2 = 4   4^2 - 2 * 4 * 2 + 2^2 = 4
                                                            Werte a=4 b= - 2 ( b ist negativ )  ( 4 - ( - 2))^2 = 36

4^2 - 2 * 4 * (- 2) + (- 2)^2 = 4^2 + 2 * 2 * 4 + ( - 2)^2 = 36 (überprüfe mit dem Taschenrechner)

                                                                        vektorielle Grössen
Merke :In Wissenschaft und Technik,gibt es vektorielle Grössen.Diese Grössen werden durch einen Pfeil (Vektor) dargestellt.
           Die Länge des Pfeils ergibt den Betrag dieser Grösse und die Spitze zeigt die Richtung an ,in der diese Grösse wirkt
                                                                     Beispiel Kraft
F1 = 10 N (Newton) , F2 = - 20 N , F3 = 5 N ,F4 = - 10 N , addiere die Kräfte !!  F1 + F2 + F3 + F4 = ?
10 N + (- 20) N + 5 N + (- 10 ) N = 10 N - 20 N + 5 N - 10 N = - 15 N   ( - 15 N ist die resultierende aus den  4 Kräften)

Das  - Zeichen und das + Zeichen geben die Wirkrichtung der Kräfte an.Diese Richtung muss man vor der Rechnung festlegen.
meistens wählt man - Kraft zieht nach links , + Kraft zieht nach rechts.
Dies funktioniert nur wenn alle Kräfte auf einer "Wirkline" liegen. Liegen die Vektoren im Raum,so werden diese aufgeteilt in den
einzelnen Richtungen X - Richtung , Y -Richtung und Z - Richtung.
Dies ist dann das Gebiet der Statik oder Dynamik im Raum.





                                                                     Die Parabel
Allgemeine Form : y=f(x)=a2* x^2 +a1 *x +ao    y ist das Selbe wie f(x).Dies ist abhängig vom Buch,wie alt es ist.Hier wird y
                                                                           verwendet.

Einfachste Form :y=a *x^2 +C    y= 3 * x^2 + 0 Parabel ist nach oben göffnet,Scheitelpunkt ist x=0 Y=0 berührt die x-Achse
                                                  y=-3 * x^2 +0     nach unten geöffnet,         "             x= 0 y=0      "           "

                    Y= 3 * x^2+0      Parabel ist gestreckt liegt axialsymetrisch zur y-Achse , oben schmal und nach oben geöffnet
                     Y=1/3 * x^2+0     "    ist gestaucht              "                      "        , oben breit         "          "          "

                     y= 3 *x^2 + 2            durch 2 nach oben verschoben
                     Y= 3 * x^2 - 2           durch - 2 nach unten verschoben

Scheitelpunktform : y=a2 * (x +b)^2 +C auch hier hat a2 und C die selbe Wirkung,wie bei der einfachsten Form
                             Y=1 * (x +3)^2 +0            "       nach links verschoben durch + 3       
                             Y=1/3 * (x + 3)^2  + 2         Parabel nach links verschoben (3) und nach oben verschoben (2)
                             Y= 3 * (x - 3)^2  + 2                 "          " rechts      "          (- 3)     "                   "           (2)

                                            Umformung durch binomische Formel (Quadratische Ergänzung )

Allgemeine Form : y=3 *x^2 - 12 *x + 13                  Beispielrechnung
                          Y=3 *(x^2 - 4 *x) +13  Binomische Formel (a -b)^2=a^2 - 2 *a*b + b^2
                                                             (x^2 - 4 *x) ist hier ein Teil der Formel  " = a^2 - 2 *a *b     (b^2) fehlt
                                                              - 2 *a*b = - 4* x also gilt 4 *x= 2 *a *b  x entspicht a
                                                              4 * x= 2 *x * b also ist b=2 Probe 2 *x * 2=4 *x  b^2 ist somit b^2=4

                           y=3 * x^2 - 12 * x +3 * 4 - 3*4 +13  (3 *4 und -3 * 4) ist die quadratische Ergänzung,der Wert der Formel                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  wird nicht verändert !
                            y=3 *(x^2 - 4*x +4) -12 +13
                             y= 3 *(x^2 - 4 *x +4) +1       Anwendung der binomischen Formel (x - 2)=x^2 - 4 *x +4
                             y=3 *(x - 2) +1  
Dies ist eine Parabel die durch - 2 nach rechts verschoben ist und durch 1 auch noch nach oben.Wegen 3 (positiv),ist sie nach
oben geöffnet.
Der Scheitelpunkt ist x=2 y=1

                                                 weitere Formeln aus Mathematik-Formelbuch

Normalform gemischtquadratische Gleichung : 0=x^2 + p *x + q

Lösung: X1,X2 =- p/2 +/- ((p/2)^2 - q))^0,5       (.......)^0,5 ist die 2.te Wurzel,kann ich hier nicht darstellen

Reinquadratische Gleichung:   0=x^2 +q              X1,X2=+/- (- q)^0,5     q kleiner gleich 0
                                                                                     = +/- i (q)^0,5   q grösser 0

                                                                 Lösbarkeitsregeln

Diskriminante D=(p/2)^2 - q  gösser 0      2 reelle verschiedene Lösungen
                                              =0             2 gleiche reelle Lösungen
                                          kleiner 0       2 konjungiert komplexe lösungen

                                                          Satz von Vieta
X1 +X2=- p
und X1 *X2=q

                                                        Gemischtquadratische Gleichung mit q=0
x^2 + p *x =0


Lösung :X1=0 und X2=- p

Allgemeine Form: y=f(x)=a2 *x^2 + a1 *x +ao

Parabelscheitel bei : x=- (a1)/2*a2     y=- (a1)^2 /(4 *a2)  + ao (Koordinaten des Scheitelpunktes)

a2 grösser 0 nach oben geöffnet ,Minimum vorhanden
a2 kleiner 0  nach unten geöffnet , Maximum vorhanden

                                                      Sinussatz/Cosinussatz (Allgemeines Dreieck)

Aus dem Mathematik -Formelbuch: a : b : c =sin(a) : sin(b) : sin(g)  (sin(a) Winkel Alpha,Beta Gamma ),griechische Buchstaben
                                                                                                 kann ich hier nicht darstellen
                                                    a/sin(a)=b/sin(b)=c/sin(g)
Anwendung:Für jede Unbekannte benötigt man eine Formel.Hat man 2 Unbekannte aber nur 1 Formel,so ist die Aufgabe nicht
                 lösbar.
Fall 1: 2 Seiten sind gegeben und 1 Winkel        (die Aufgabe ist mit dem Sinussatz lösbar) 1 Formel u. 1 Unbekannte
Fall 2 : 2 Winkel und 1 Seite gegeben                (die Aufgabe ist lösbar) auch hier 1 Formel und 1 Unbekannte
              
Cosinussatz : a^2=b^2 +c^2 - 2 *b *c *cos(a)
                   b^2=c^2 +a^2 - 2 *c *a *cos(b)
                   c^2=a^2 +b^2 - 2 * a *b *cos(g)   cos(a) ist hier der Winkel Alpha,griechische Buchstaben kann ich hier nicht
                                                                        darstellen.
Fall 1: 2 Seiten und ein Winkel gegeben, 1 Formel und 1 Unbekannte                        (Aufgabe ist lösbar)
Fall 2: 3 Seiten sind gegeben        Formel muss nach den Winkel umgestellt werden   (Aufgabe ist lösbar)
Fall 3: 2 Winkel und 1 Seite gegeben  (Aufgabe  lösbar,aber umständlich,hier den Sinussatz anwenden)

                                                                    Umstellung der Formeln nach cos(a)/cos(b) oder cos(g)

                              a^2=b^2 +c^2 - 2 *b *c cos(a)    mit 2 *b *c * cos(a) addiert ergibt

 2 * b *c * cos(a) +a^2 =b^2 + c^2   mit a^2 subtrahiert ergibt

           2 *b *c * cos(a) =b^2 + c^2 - a^2   mit 2 * b *c dividiert ergibt

                         cos(a) =(b^2  c^2 - a^2) / 2 *b *c     Rechner auf Grad einstellen

                    arc cos(a) =      ergib dann den Winkel in Grad


Umstellung der anderen Formel ergibt :   cos(b) = (c^2 + a^2 - b^2) / 2 *c * a

                                                           cos(g) =(a^2 + b^2 - c^2) / 2 * a * b

                                                                          Auswertung
Fall 1: 2 Seiten und 1 Winkel gegeben         Cosinussatz oder Sinussatz anwenden
Fall 2 : 3 Seiten gegeben                                     "                 nach den Winkel cos( ) umstellen

Fall 3 : 1 Seite und 2 Winkel gegeben       Sinussatz anwenden

                                          Ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion)

Allgemeine Form : y=f(x)=a3 * x^3 + a2 * x^2 + a1 * x + ao

a3 > 0 Parabel verläuft von unten "links" nach oben "rechts" ,wie ein waagerechtes "S"

a3 < 0 umgekerter Verlauf ,von oben "links" nach unten "rechts"

ao        verschiebt die Funktion nach "oben" oder nach "unten"

Normalform : y=f(x)= x^3  die Parabel (Graph) verläuft von unten "links" nach "oben" rechts ,wie ein "S"
                                        Wendepunkt bei x=0 und y=0
                        f(x)= - x^3 umgkehrter Verlauf von oben "links" nach unten "rechts",wie ein "S"
                                          Wendepunkt bei x=0 und y=0

                                                                 Beispiel

Y=f(x)=0,1 * x^3 - 0,2 * x^2 - 0,5 *x + 0,6

Diese Funktion hat die Form von einen waagerechten "S" und hat 3 Nullstellen ,y=0 bei    x1= - 2 ,   x2= 1 ,  x3= 3
für x=0 ist y=0,6

                                                                 Erkenntnis
Die kubische Funktion hat maximal 3 Nullstellen und immer einen "Wendepunkt"

Durch die Koeffizienten a3,a2 und a1 wird die Funktion gesteckt oder gestaucht

durch die Konstante ao wird die Funktion nach "oben" oder nach "unten" verschoben.

Ob es "Nullstellen" gibt,hängt von diesen Faktoren ab.

                                               ganzrationale Funktionen 4. Grades und höher

Allgemeine Form : y=f(x)= a4 * x^4 + a3 * x^3 + a2 * x^2 + a1 * x + ao

dies ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades wegen  des höchsten Exponenten n =4

Es gilt: y=f(x)= x^2 * n  (n *2) ,der Exponet ist eine gerade Zahl n= 2 ,4,6,8,10,12 usw.   oder n= -2,-4,-6,-8,-10 usw.

diese Funktionen verlaufen alle axialsymetrisch zur y-Achse,sehen aus wie ein offenes "U".Kommen von "links" oben und ver-
schwinden nach "rechts" oben.

Durch die Koeffizienten a4,a3,a2,a1, wird die Funktion gesteckt oder gestaucht.

Durch die Konstante ao wird die Funktion nach "oben" oder nach "unten" verschoben.

Es gilt :y=f(x)=x^2 *n - 1  (2 *n -1) , der Exponent ist eine ungrade Zahl n=1,3,5,7,9,11 usw. oder n=- 1, - 3,- 5, - 7,- 9 - 11

diese Funktionen verlaufen zentralsymetrisch ,kommen von "links" unten und verschwinden nach "rechts" oben

diese sehen aus, wie ein senkrechtes "S"
                                                                     Erkenntnis

Den quantitativen (ungefähr) Verlauf von Funktionen 4. Grades und höher,erkennt man an den Exponenten,ob dieser gerade

oder ungerade ist , gerade n * 2 ungerade n* 2 - 1

                                                                   Lineare Gleichung (Gerade)
Ganzrationale Gleichung n. Grades :  a)     y=f(x)= a1 *x + ao
                                                    b)     y=f(x)= a2 * x^2 + a1 * x + ao
                                                    c)      y=f(x)= a3 *x^3 + a2 * x^2 + a1 * x + ao
                                                    d)     y=f(x) = a4 *x^4 + a3 * x^3 + a2 * x^2 + a1 * x +ao
Merke :Der höchste Exponent,gibt den Grad der Funktion (Gleichung) an. Bei d) ist dies eine Funktion 4. Grades
            Bei a) ist dies eine Funktion 1.Grades (Gerade).b) ist eine Funktion 2. Grades (Parabel)

                                                                Lösung

a) ist am meisten bekannt durch die Form y=f(x)=m * x +b  Y und f(x) ist Ein und das Selbe,je nach Buch.Ich verwende y
   weil diese Funktion in ein x -y -Koordinatensysstem eingetragen wird.
Differenzenquotient : Formel (Delta) y/(Delta) x = (y2 - y1) / (x2 - x1) ,griechische Buchstabe (Delta),kann ich hier nicht
                                   darstellen,hier ergibt sich m=(y2 - y1) / (x2 -x1)
                                   Dieser ergibt die Steigung durch die Punkte P1 und P2 .Dies ist eine Sekante.
                                   Sind 2 Punkte gegeben,so hat man auch die Koordinaten x1,x2,y1 und y2.Diese Werte setzt man in die
                                  Formel m=(y2 - y1) / (x2 - x1) ein und erhält somit die Steigung durch diese beiden Punkte.  
Differentialquotient : Den Ausdruck (x2 - x1) nennt man Intervall.Wenn man nun (x2 - x1) immer kleiner macht,also gegen
                                   null gehen lässt,so erhält man den Differentialquotienten.
                         r         Dieser gibt die Tangentensteigung an einer Kurve (Graphen,Funktion) an
Merke :Wenn der Ausdruck (x2 - x1) gegen null geht,so geht die Sekantensteigung über, in die Tangentensteigung.

Dies ist dann die erste Ableitung der Funktion y=m *x +b    y´= dy/dx=m

dy/dx ist der Differentialquotient (siehe Differentialrechnung im Mathematik-Formelbuch).

                                                           Kurvenverlauf der Geraden

y=m *x  alle Geraden dieser Form verlaufen durch den Ursprung des x -y Koordinatensysstems
y= 2 *x   verläuft von unten links nach oben rechts
y= - 2 *x    "        von oben links nach unten rechts
y=m *x + b
y=2 *x + 3  die Gerade verläuft von unten links nach oben rechts für x=0 ist y=3 Gerade wird durch (3) nach oben verschoben
y=2 *x - 3            "              "         unten links nach oben rechts   für=x=0 ,y=-3     "               "    (- 3)    "  unten        "
y= - 2 *x - 3         "          "         von oben links nach unten rechts für x=0 , y= - 3      "          "    ( - 3)  "  unten verschoben

Nullstelle :Jede lineare Fuktion hat eine Nullstelle,hier wird y=0
                 y=m * x           y=0     0=m *x                      Nullstelle bei x=0
                 y= m * x + b    y=0     0=m * x + b               Nullstelle bei x= - b/ m  (Formel umgestellt nach x)

Merke :Die lineare Funktion muss auf jeden Fall beherscht werden.Man mus dazu viele Gleichungen mit verschiedenen Zahlen
            durchrechnen,damit man dies beherrscht.
           Alle Lösungsansätze für Funktionen,stehen in einen Mathematik-Formelbuch,man muss diese nur kennen und anwenden
           können.  

                                                              Differential - Integralrechnung
Merke : -
Die Differentialrechnung und die Integralrechnung sind miteinander verknüpft.Die Integralrechnung ist die Umkehrung
               der Differentialrechnug.
             - Man benötigt unbedingt ein Mathematik-Formelbuch,einen Funktionsrechner (Grapfikrechner),Lehrnbücher und Lösungs-
               bücher mit durchgerechneten Beispielaufgaben,sonst kann man nicht vernünftig arbeiten.
             - Das Integralzeichen "S" (verzerrtes S ) ist der mathematische Befehl zur Aufsummierung unendlich vieler kleiner Teil-
               flächen. Die Integralrechnung ist somit eine Flächenberechnung !!
             - Man kann als Einheit "FE" (Flächeneinheit) benutzen,wird aber fast immer weggelassen.
             - Wird mit Einheiten gerechnet,Millimeter,Zentimeter,Meter usw. ,dann ergibt sich die Fläche entsprechend in Quadrat-
                millimetr,Quadratzentimeter,Quadratmeter usw..
Merke : - Die Differentationsregeln stehen im Mathematik-Formelbuch,mit diesen Regeln kann man alle Aufgaben rechnen.
             - Auch die Integrationsregeln stehen in diesen Buch.
             - Man muss sich exakt an diese Regeln halten,sonst führt dies immer zu einen falschen Ergebnis.

                                                         Kurvendiskussion,Differentialrechnung  
Merke : - Bedingung für ein  "Maximum" f(x) < f(xe)   f´(xe) = 0     f´´(xe) < 0
             -         "           "       "
Minimum" f(x) > f(xe)   f´(xe) = 0     f´´(xe) > 0
             -          "          "       
"Wendepunkt"                       f´´(xw) = 0  f´´´(xw) ungleich 0
             -         "         "         
"Sattelpunkt"  die Nullstellen von y´´ müssen in y´ eingesetzt werden.Wird y´ zu Null,so liegt
                                               ein Sattelpunkt vor. Die Tangente ist hier eine waagerechte Gerade.    
monoton wachsend  f(x) < f(xo) und     f´(xo) grösser gleich 0
                               f(x) > f(xo)
und      f´(xo) kleiner gleich 0

monoton fallend      f(x) > f(xo)  und      f´(xo) grösser gleich 0
                              f(x) < f(xo)  
und      f´(xo)  kleiner gleich  0    

Merke :
Jede Kurvendiskussion läuft über diese Ableitungen und Bedingungen !!
             - f´(x)      erste Ableitung der Funktion f(x)
             - f´´(x)   zweite Ableiung der Funktion f(x)
             - f´´´(x) dritte Ableitung der Funktion f(x)

                                                                
Beispiele für Ableitungen
y=f(x) = x^2        abgeleitet y´=f´(x) = 2*x        hier wurde die Potezregel angewendet
y=      = 2 * x^2          "       y´= 2 * 2 * x = 4 *x                     "         mit Konstantenregel angewendet
y=2 * x^2 + 3 = 2 * x^2 + 3 * x^0    abgeleitet y´= 2 * 2 * x + 3 * 0 =4 * x  Potenzregel , Konstantenregel und Summenregel

Merke :Die Gesamtfunktion setzt sich aus Teilfunktionen zusammen. Ausnahme Einzelfunktionen wie y= x^2 oder y=x
           y=f(x)= 2 * x^2 + 3  allgemeine Form y=f(x) = f(x1) + f(x2)  abgeleitet y´=f´(x) = f´(x1) + f´(x2)
           - x1 und x2 dienen zur Unterscheidung der einzelnen Teilfunktionen.  

                                                         Ableitung durch Substitution (Ersetzung) und Kettenregel
y= e^x abgeleitet ergibt sich y´= e^x siehe Mathematik-Formelbuch elementare Ableitungen hier y= e^x

y= e^2x  ersetze z =2 * x  z´=dy/dz = 2  Kettenregel dy/dx = dy/dz  * dz/dx

y´=dy/dx = e^z * 2 = 2 * e^2x

                                               Überprüfung durch Differenzenquotienten
(de) y /(de) x = (y2 - y1) / (x2 - x1)  ( de = delta griechischer Buchstabe ,kleines Dreieck)

Merke :Wählt man das Intervall (x2 - x1) sehr klein,so ist die Steigung des Differenzenquotienten ungefähr der Steigung des Differential -
            quotienten.So kann überprüft werden,ob die Ableitung richtig ist.

y = e^2x für x1= 2 ist y1 =54,598  für x2 = 2,001 ist y2 =54,707 eingesetzt ergibt sich (de) y /(de) x = (54,707 - 54,598 ) / ( 2,001 - 2)
(de) y /(de) x =109,455

y´= 2 e^2x  für x= 2 ergibt sich  y´= 109,196  also verglichen mit 109,455 ist dies bis auf einen geringen Unterschied die selbe
Steigung.

                                                      Beispiel Sinusfunktion y=sin(x) und y=sin(2x)
y=sin(x) abgeleitet ergibt  y´=dy/dx =cos(x) siehe elementare Ableitungen im Mathematik-Formelbuch

y=sin(2x) ersetze z=2*x      z´=dz/dx =2  Anwendung elementarer Ableitung und Kettenregel (mit Substitution)
y=sin (z)   y´= cos(z) * z´ = cos(2x) * 2 Kettenregel y´=dy/dx = dy/dz *dz/dx

Merke :Durch die Substitution (Ersetzen),wird eine komplizierte Funktion auf eine elementare,einfache Funktion zurückgesetzt,die dann
            gelöst werden kann,indem man die einzelnen Ableitungen multiplizeirt !!

                                                            Beispiel Quotientenregel
Merke : y= 2^-2 = 1 / 2^2   , y= x^-2 = 1 / x^2 allgemeine Form f(x) = f(x1) / f(x2) , hier wegen f(x1) =1 die spezielle Form
                                                                       (1/v)´= - v´/ v^2
v=x^2 abgeleitet v´= 2*x  eingesetzt in die Formel  y´= - 2 * x / x^4 = - 2 / x^3

oder durch die Potenzregel y= x^-2 = -2 * x^-3  (Quotientenregel und Potenzregel führen zum selben Ergebnis)

                       Beispiel y= 2 * x^2 - e^2x + sin(3 x) allgemeine Form f(x) = f(x1) - f(x2) + f(x3)
f´(x)= f´(x1) - f´(x2) + f´(x3)
y1=f(x1)=2 * x^2 abgeleitet ergibt y´1= 2 * 2 * x=4 *x
y2= e^2x                     "        "      y´2= e^z * 2 = 2 * e^2x siehe Ableitung von e - Funktionen
y3=sin(3x)                     "       "      y´3= cos(z) * 3 = cos(3x) * 3 eingesetzt in f´(x)=f´(x1) - f´(x2) +f´(x3)

y´=f´(x) = 4 *x - 2 * e^2x + cos(3x) * 3

                                                                      Zusammenfassung
Bei der Differentialrechnung und Integralrechnung muss man exakt die Rechenregeln im Mathematik-Formelbuch beachten.Alle
Funktionen kann man mit den Differentationsregeln ableiten.Entweder wird eine Regel angewendet oder mehrere Regeln.
Die Integralrechnung ist nur die Umkehrung der Differentialrechnung.
Merke :Bei der Integration ergibt sich immer eine Integralkonstante,die meistens mit den Buchstaben "C" dargestellt wird.
            Diese Konstante "C" muss dann durch die Rahmenbedingungen der jeweiligen Aufgabe ermittellt werden.

Beispiel : y= 2 * x + 3 =2 * x + 3 * x^0 abgeleitet ergibtsich y´= 2
             durch die Integration wird nun die Stammfunktion (Ausgangsfunktion) gesucht.Die Konstante 3 ist durch die Differen-
             tation weggefallen.
              y´=2 = 2 * x^0                  integriert ergibt y=2 * x + C
Achtung :
Alleine das Lösungsbuch "Integralrechnung" Kusch - Rosenthal ,Girardet Verlag Essen 1980 hat 650 Seiten, durchgerechnete
               Beispielaufgaben.
               Es ist unmöglich hier, alle Aufgabentypen der Differential - und Integralrechnung auf zu führen.
               Jeder ,der mit diesen Thema zu tun hat,muss sich entsprechend ausrüsten und wochen- oder monatelang üben !!

         
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