Seite 34 - Einführung

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                                                    Fadenpendel/Federpendel,Drehfederpendel

Merke :
Eine Masse m verharrt in ihren Bewegungszustand,solange keine äußere Kraft auf sie einwirkt. Wirkt eine äußere Kraft auf
             sie ein,so reagiert diese mit einer gleich großen Gegenkraft F=m *a  (F in N ,Newton, m in Kg,,, kilogramm und die Be-
             schleunigung a in m/s^2, Meter durch Sekunde zum Quadrat ).
Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung ist S´´+wo^2 * S=0

Allgemeine Lösung ist y=f(x)=C1 * sin(w*t)+C2 * cos(w *t)
             
MERKE :Diese Herleitungen hier, gelten nur für kleine Ausschlagwinkel Alpha (a)=5°- 7°.

Im Ruhezustand ,Ruhelage,des Pendels wirkt die Gewichtskraft (Gravitationskraft) Fg= m * g . Der Kraftvektor von Fg steht
senkrecht zur Erdoberfläche . g=9,81 m/s^2 Dies ist die Erdbeschleunigung und ist überall auf der Erdoberfläche gleich.
Fällt ein Stein von einer Brücke,so hat er nach einer Fallzeit von 1 Sekunde ,eine Geschwindigkeit
v= g*t=9,81 m/s^2*1 s=9,81 m/s. Dies ist eine Geschwindigkeit von v=9,81 m/s * 3600 s=35316 m/Std=35,316 Km/h.

Wir lenken nun das Fadenpendel um einen kleinen Winkel 5°-7° aus.Nun wird die Kraft Fg=m *g zerlegt, in die Komponenten
Ft
Tangentialkraft und Fn (Normalkraft). Die Normalkraft Fn spielt bei der Bewegung keine Rolle,sie steht senkrecht zur Bahn der
Masse m unbelastet nur den Faden.
Die Tangentialkraft Ft ist die äußere Kraft an der Masse m und ist an der Bewegung des Pendels beteiligt.

Es gilt : sin(a)=Gk/Hy=Ft/Fg ergibt Ft=sin(a) * Fg=sin(a) * m *g
           cos(a)=Ak/Hy=Fn/Fg ergibt Fn=cos(a) *Fg=cos(a) * m *g
Die Formeln stehen im Mathe-Formelbuch ,Kapitel ,Geometrie ,rechtwinkliges Dreieck
Gk=Gegenkathete ,AK=Ankathete ,Hy=Hypotenuse
GK und Ak bilden im Dreieck einen 90° Winkel und Hy ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Für die weitere Berechnung benutzen wir nun das Grundgesetz der "Statik".
MERKE :
Die Summe aller Kräfte in einer Richtung ist zu jeden Zeitpunkt gleich Null.
             Die Momente in einen beliebigen Punkt,ist zu jeden Zeitpunkt gleich Null.

Beim Fadenpendel gibt es nur 1 Richtung und die Momente,die an der Masse m wirken ,sind vernachlässigbar.
Auch vernachlässigt man den Einfluß von Reibung und Luftwiderstand,sonst wäre die Aufgabe nicht lösbar.

Aus den Bedingungen der Statik ergibt sich folgende Gleichung.
Die Summe aller Kräfte in einer Richtung ist zu jeden Zeitpunkt gleich Null !!

F + Ft = 0
ergibt m *a + sin(a) * m * g=0 dividiert durch m ergibt a+g *sin(a)=0

Rechentrick :Für kleine Winkel (a)=5°- ist sin(a)= S/L hier ist L die Länge des Fadens und (a)=S/L ist der Winkel in Bogen-
                  maß.
eingesetzt : a +  g/L * S=0 Dies ist die Dgl (Differentialgleichung) der "Freien ungedämpften Schwingung"
Andere Schreibweise : S´´+b * S=0

HINWEIS :In der Physik wird der Buchstabe S für den Weg benutzt und t für die Zeit.
                Somit ist S´´ die 2.te Ableitung des Weges S nach der Zeit t
Also ist S´´ die Beschleunigung (Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit,siehe Physik-Formelbuch)
Gesucht wird somit S(t) (Geschwindigkeits-Zeitfunktion).

Lösung :1 Möglichkeit
In der Literatur findet man die Formel für die freie ungedämpfte Schwingung  S´´+ wo^2 * S=0
Hier ist wo die Kreisfrequenz (Winkelgeschwindigkeit) des Schwingers.
also hier wo^2=g/L ergibt wo=Wurzel(g/L)=(g/L)^0,5

wo= 2 *pi /T
hier ist 2 *pi ein Vollkreis in rad (Winkel in Bogenmaß) und T ist die Zeit ,in der der Schwinger den Winkel 2 *pi
                      durchlaufen hat.
ergibt 2*pi/T=(g/l)^0,5 hier ist pi=3,14... die Keiskonstante, ergibt T/2 *pi= 1/(g/L)^0,5

ergibt T= 2 *pi * 1/(g/L)^0,5 ergibt weiter T=2 *pi * (L/g)^0,5 siehe Mathe-Formelbuch Wurzelgesetze
1/(a/b)^0,5= (b/a)^0,5

Lösung : Schwingungsdauer des Fadenpendels T=2 *pi *(L/g)^0,5 die Frequenz ist f=1/T Die Frequenz gibt an,wie viel
              Schwingungen ("hin" und "zurück") in 1 Sekunde ausgeführt werden . Die Einheit von f ist Hz (Hertz)

2. Möglichkeit
Durch ausprobieren

Es handelt sich hier um einen Schwingungsvorgang und somit kann nur eine Schwingungsgleichung die Lösung sein.Bekannte
Schwingungsgleichungen sind y=f(x)= a * sin(w *t +c) und y=f(x)=a *cos(w *t + c)

Wir legen nun ein x-y-Koordinatensystem in die Ruhelage des Fadenpendels (Pendel steht senkrecht und bewegt sich nicht).
Der Ursprung des x-y-Koordinatensystems deckt sich mit den Schwerpunkt der Masse m.

In diesen Bezugspunkt gilt : - für t=0 ist S=0 (t in Sekunden und S der zurückgelegte Weg )
                                            - für t=0 ist v=maximal (höchste Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde)
                                            - für t=0 ist a=0 (Beschleunigung  in Meter pro Sekunde zum Quadrat ist 0 )
Probieren wir nun y=a *sin(w *t +c). Hier muss c=0 sein,sonst ergibt sich nicht die Bedingung S=0 bei t=0
a beeinflußt nur die Amplitude (Auslenkung) des Pendels. Wir setzen a=1

ergibt y=f(x)=S(t)= sin(w * t) abgeleitet S´(t)=w * cos(w *t) und S´´(t)=w^2 *-sin(w *t)
hier ist S(t)=  sin(w*t)
Ableitung, siehe Mathe-Formelbuch ,elementare Ableitungen und Kettenregel !!
eingesetzt ergibt w^2 * - sin(w*t)+ w^2 * sin(w*t)=0 Gleichung ist erfüllt.

also ist S(t)=y(t)=f(t)=sin(w *t) eine Lösung der Dgl S´´+wo^2 * S=0

Probieren wir nun y=f(x)=S(t)= cos(w *t) abgeleitet S´(t)= w *- sin(w *t) und S´´(t)=w^2 *- cos(w*t)
eingesetzt ergibt  w^2  * - cos(w*t)+ w^2 *  cos(w*t)=0
auch hier ist S(t)= cos(w*t)

Zusammenfassung :Wir haben hier 2 Lösungen für die Dgl S´´+w^2 * S=0 .Welche nun gilt,hängt von den Anfangsbedingungen
                            ab. Für t=0 und S(0)=0 ist die "Weg-Zeit-Funktion"
                            Lösung S(t)= a * sin(w*t) !!
                              
Lösung S(t)=a * cos(w *t) !! wenn t=0 und S(0)= Smax (maximale Auslenkung)
a errechnet sich aus der Auslenkung (Ausschlag) des Fadenpendels.
Probe : für t=0 ergibt sich S(t)= a *sin(w *0)=0 Bedingung erfüllt
            für t=0 ergibt sich  V(t)= w*a * cos(w*0)=1 ergibt den Maximalwert der Geschwindigkeit ,Bedingung erfüllt.
            für t=0 ergibt sich a(t)= w^2*a *- sin(w *0)=0 ergibt die Beschleunigung ist Null,Bedingung erfüllt.

Das Gleiche kann man nun machen,wenn man das x-y-Koodinatensystem mit den Ursprung auf die maximale Auslenkung legt,
dann ist die Lösung S(t)=a *cos(w *t)
für t=0 ergibt sich S(t)=a *cos(w *0)=1 maximale Auslenkung .Bedingung erfüllt.
für t=0 ergibt sich V(t)= w*a * - sin(w *0)=0 Geschwindigkeit ist null,Bedingung erfüllt.
für t=0 ergibt sich a(t)= w^2*a * - cos(w *t)=1 maximale Beschleunigung,Bedingung erfüllt.

Linearkombination : Hier liegen 2 Lösungen vor,die von den Rahmenbedingungen abhängig sind.Diese kann man zu einer allgemeinen
                                  Lösung zusammenfassen.
Es gilt : y=y1+y2 hier y1 die erste Lösung und y2 die zweite Lösung  ,also y=f(t)= C1 * sin(w*t) +C2 * cos(w*t)

HINWEIS :
Die Koeffizienten C1 und C2 ergeben sich aus den Rahmenbedingungen der Aufgabe.
                 Wegen der Ähnlichkeit mit einer komplexen Zahl Z=Realteil +/- j Imaginärteil kann auch eine konjugiert Komplexe
                 Lösung auftreten (Elektrotechnik).

3. Möglichkeit Anwendung von mathematischen Grundkenntnissen und probieren .

Auch hier geht man von einer Schwingung aus und weiss,dass die Lösung eine Schwingungsgleichung sein muss.

Einfachste Dgl 2.ter Ordnung  ist S´´+ S=0 ergibt S´´= - S hier sieht man, dass die die 2.te Ableitung von S(t) negativ ist - S(t)
Diese Eigenschaften haben die Funktionen y=f(x)=sin(x) und y=f(x)= cos(x)  
y=sin(x)
abgeleitet y´= cos(x) und y´´= - sin(x)
Das Selbe liegt vor bei y=cos(x) abgeleitet y´= - sin(x) und y´´= - cos(x)

Eingesetzt : S´´+S=0 ergibt - sin(t) +sin(t)=0 ist also eine Lösung.Das Selbe gilt für - cos(t)+cos(t)=0
Nun wird es mit der Dgl  S´´+a *S=0 versucht , ergibt - sin(t) + a *sin(t) ungleich Null !!

Wegen den Koeffizienten a geht die Dgl nicht auf !!
deshalb versucht man es mit y=sin(w *t) und y=cos(w*t) und kommt so auf das selbe Ergebnis.

Mit der Linearkombination  y=y1+y2 lautet das Ergebnis wieder y=f(t)= C1 *sin(w *t) + C2 *cos(w *t)   


                                                            Das Federpendel

Differentialgleichung der ungedämpften Schwingung S´´+wo^2 * S=0

F= m *a und die Federkraft Ff=c * s hier ist C die Federkonstante ,Einheit N/m (Newton pro Meter)

ergibt die Gleichung F+Ff  =0 ergibt m * a + c * s=0 ergibt a+c/m * s=0 mit wo^2=c/m ergibt sich der selbe Lösungsweg,wie  
beim Fadenpendel
Lösung : T= 2 *pi * (m/C)^0,5 und die Frequenz f=1/T hier ist auch wieder T die Zeit für eine Periode (volle Schwingung)
                                                   m die Masse des Schwingers in Kg (Kilogramm) und C die Federkonstante   

                                                              Das Drehfederpendel

Dgl S´´+ wo^2 *S=0
auch dies ist eine "freie ungedämpfte Schwingung".Nur wird hier S durch den Drehwinkel Phi ersetzt.

Es gilt : Die Summe aller Drehmomente um die Drehachse ist zu jeden Zeitpunkt gleich Null !!

Formeln :M= J * (Phi)´´ und Mf=D *Phi hier ist J das Massenträgheitsmoment in Kg * m^2 (Kilogramm mal Meter zum
             Quadrat). Phi ist der Drehwinkel in rad (Radiant ,Winkel in Bogenmaß) und D ist die Drehfederkonstante in Nm/rad
              (
Newton mal Meter pro rad).
              (Phi)´´ ist die Winkelbeschleunigung rad/s^2 (rad durch Sekunde zum Quadrat)
             Mf ist das Drehmoment der Drehfeder in Nm (Newton mal Meter)
             M ist das Drehmoment aus der Massenträgheit in Nm (Newton mal Meter)

eingesetzt ergibt sich : M+Mf=0 ergibt J *(Phi)´´+D *Phi=0 ergibt (Phi)´´+D/J * Phi=0
                                    wo^2=D/J
Lösung,wie beim Fadenpendel und Federpendel ergibt T=2 *pi *(J/D)^0,5 und f=1/T

                                                                           
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