Seite 37 - Einführung

Direkt zum Seiteninhalt

Hauptmenü:

Seite 37




                                                                               schäger Wurf

Merke: Beim schrägen Wurf handelt es sich um 2 überlagerte Bewegungen,die unabhängig voneinander behandelt
          werden können.
          - Bewegung in y-Richtung
           
-         "          x-Richtung
                                                                                Wurfparabel


aus den Physik-Formelbuch h(x)=y=-g*x^2/(2*vo^2*cos^2(a))+x*tan(a) mit cos(x)=Wurzel(1/(1+tan^2)) ergibt sich,
siehe Mathe-Formelbuch "Zusammenhang zwischen den Funktionswerten bei gleichen Winkel" (trigonometrische Funktionen)

cos^2(a)=1/(1+tan^2(a))   und mit der Hilfsvariablen b=-g*x^2/(2*Vo^2)

h(x)=y=b*(1+tan^2(a))+x*tan(a)
diese Gleichung wird für die Beispielaufgabe 1. benötigt

h(x)=y
hier ist x die Strecke auf der x-Achse.Also ist h(x)=y (Höhe) abhängig von der Strecke,die auf der x-Achse zurückgelegt
             wird (Bewegung in x-Richtung).

                                                                                  1. Aufgabe

Ein Ball wird mit Vo=12 m/s in ein Fenster geworfen,daß sich h=4 m über den Boden befindet.Der Abstand zur Wand beträgt
s=2 m
gegeben: h(x)=y=4 m und s=x=2 m und Abwurfgeschwindigkeit Vo=12 m/s
gesucht: Der Abwurfwinkel Alpha (a)=?
                                                                           siehe Bild

Lösung: Hier muß die Formel h(x)=y=b*(1+tan^2(a))+x*tan(a) angewendet werden,weil der Abwurfwinkel berechnet werden soll.
           b=-g*x^2/(2*Vo^2)=-9,81 (m/s^2)*2^2/(2*(12 m/s)^2=-0,13625

ergibt: mit h(x)=y=4 m=b+b*tan^2(a) +2 m*tan(a)=-0,13625-0,13625*tan^2(a)+2*tan(a)
                               0=-0,13625-0,13625*tan^2(a)+2*tan(a)-4=-0,13625*tan^2(a)+2*tan(a)-4,13625 dividiert durch -0,13625
                               ergibt

                                0=tan^2(a)-14,6789*tan(a)-30,3578 Substitution z=tan(a)
    
                                   0=Z^2-14,6789*Z-30,3578
Nullstellen bei Z1=12,188 und Z2=2,4907 (ist eine Parabel !!)
Rücksubstitution tan(a)1=12,188 ergibt (a)1=arctan(12,188)=85,309°
                          tan(a)2=2,4907
ergibt (a)2=arctan(2,4907)=68,125°
Es ergeben sich somit 2 Abwurfwinkel ,weil es für die Parabel 2 Lösungen gibt.

Probe: h(x)=y=-g*x^2/(2*Vo^2*cos^2(a)+x*tan(a) mit g=9,81 m/s^2 und x=2 m (a)1=85,309° u. (a)2=68,125°
                                                                                      bestätigt das Ergebnis
Hinweis: In "Handarbeit" müssen die Nullstellen mir der p-q-Formel ermittelt werden,siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Glei-
            chung" und die "Lösbarkeitsregeln".

                                                                        2. Aufgabe

Ein Stein fällt aus einer Höhe von h=20 m senkrecht zu Boden.Im Abstand von x=10m wird ein Geschoß mit Vo=20 m/s abge-
schossen.
gesucht: Der Abschußwinkel (a)=?,damit der Stein getroffen wird.Die Höhe ht=? ,wo der Stein getroffen wird.Die Flugzeit tf=?
gegeben: h=S0=20 m,Vo=20 m/s und x=10 m
                                                                         siehe Bild             

                                                                                       Bewegung in y-Richtung
1.      a=-g nun 2 mal integrieren
2. Vy(t)=-g*t+Vyo hier ist Vyo=0
3. Sy(t)=-1/2*g*t^2+So

Hinweis: Hier sind die Vorzeichen von g und So schon in den Formeln berücksichtig. Hier muss g=9,81 m/s^2 und So=20 m
            eingesetzt werden.
                                                                             siehe Zeichnung

Lösung: in y-Richtung des Steins gilt Y(t)=-1/2*g*t^2+So und die Zeit t in x-Richtung x=Vox*t=Vo*cos(a)*t ergibt
            t=x/(Vo*cos(a) eingesetzt
            Y(t)=-1/2*g*x^2/(Vo^2*cos^2(a)+So

Parabelgleichung für das Geschoß h(x)=Y=-g*x^2/(2*Vo^2*cos^2(a)+tan(a)*x

gleichgesetzt Y(t)=Y

-g*x^2/(2*Vo^2*cos^2(a)+So=-g*x^2/(2*Vo^2*cos^2(a)+tan(a)*x ergibt

So=tan(a)*x ergibt tan(a)=So/x also (a)=arctan(So/x)=arctan(20 m/10 m)=63,43..°

Abschußwinkel (a)=63,43°

Flugzeit ist t=x/(Vo*cos(a)=10 m/(20 m/s*cos(63,43°))=1,118 s (Sekunden)

Treffpunkthöhe hs=-1/2*g*t^2+So=-0,5*9,81 m/s^2*(1,118 s)^2+20 m=13,868 m

Erkenntnis : Der Abschußwinkel ist nur von So/x abhängig. Treffpunkthöhe und Zeitpunkt hängen von der Abschußgeschwindig-
                  keit Vo ab.

                                                                  Wurfparabel Umformung

y(x)=h(x)=-g*x^2/(2*Vo^2*cos^2(a)+tan(a)*x mit cos^2(a)=1/(1+tan^2(a) und tan(arctan(So/x))=So/x

eingesetzt y(x)=h(x)=-g*x^2/(2*Vo^2)*(1+tan^2(a)+tan(a)=-g*So^2/(2*Vo^2)+So-g*x^2/(2*Vo^2)

ergibt y(x)=h(x)=-g/(2*Vo^2)*(So^2-x^2)+So
                                                                      zurück zur Startseite

                                                                        

 
Zurück zum Seiteninhalt | Zurück zum Hauptmenü